1專業介紹

數學（數學）是研究數量、結構、變化和空間模型等概念的學科。通過使用抽象和邏輯推理，從計數、計算、測量和觀察物體的形狀和運動中產生。數學的基本要素是：邏輯與直覺、分析與推理、概括與個別。

1.2美國數學常見學位

?PhD

?MA(Master of Arts)

?MS(Master of Science)

大多數大學的數學學院都會提供博士學位。學位，全美前20的學校碩士項目不多。

1.3 常見分支

自古以來，數學就被廣泛應用于各個領域，包括科學、工程、醫學、經濟學、金融學等。在過去的幾千年里，數學在不同的國家得到了發展。古埃及人寫下了第一個方程式。古希臘人在許多領域做出了貢獻，例如幾何學和命理學。中國數學家很早就有了負數的概念。數字“0”在印度首次使用。然后，在波斯伊斯蘭教的黃金時代，數學家又邁出了一大步，寫出了第一本關于代數的書。在文藝復興時期，數學和科學共同繁榮。

如今，隨著社會的發展和科學的進步，數學也逐漸專業化?，F代數學大致可以分為兩個領域：純數學（研究數學本身）和應用數學（用來解決比較實際的問題）。下面詳細介紹一下這兩個主要分支：

1.3.1 Pure Mathematics（純數學）

概念：

Pure Mathematics又叫基礎數學是一個專門研究數學本身，不以實際應用為目的的科學。它研究從客觀世界中抽象出來的數學規律的內在聯系，也可以說是研究數學本身的規律。與應用數學相比，它與其他不以應用為目的的理論科學（如理論物理、理論化學）關系密切。純數學以其嚴謹、抽象和優美著稱。 18世紀以來，純數學成為數學研究的一個具體門類，并隨著探索、天文學、物理學、工程學等學科的發展而發展。

基礎數學是研究數學結構本身的內在規律，不需要直接聯系其他學科解決實際問題。它只研究純粹形式的事物的數量關系和空間形態?；A數學包括的分支有：代數、數論、幾何、拓撲、分析、函數論、組合數學等。

基礎數學是數學科學的核心。它不僅是應用數學其他分支的基礎，而且為自然科學、技術科學和社會科學提供了必不可少的語言、工具和方法。研究基本類型和過程如何轉化為抽象概念陳述，包括解析、代數和幾何數學中的抽象概念等，是各校數學系的主要研究方向。微分幾何、偏微分方程等都屬于基礎數學的范疇。著名的陳景潤證明“1+1=2”哥德巴赫猜想的故事就發生在這個領域。

純數學的研究分支：

1）代數（Algebra）

數學最重要、最基礎的分支之一。代數有著悠久的歷史。它隨著人類生活的改善、生產技術的進步以及科學和數學本身的需要而產生和發展。在這個過程中，代數的研究對象和研究方法都發生了重大變化。代數可分為初等代數和抽象代數。初等代數是舊算術的推廣和發展，抽象代數是在初等代數的基礎上產生和發展的。初等代數是指19世紀上半葉以前的方程理論。它主要研究某個方程（組）是否可解，如何求出方程的所有根（包括近似根）和方程根的各種性質等。在代數之前，有算術。算術就是解決日常生活中的各種計算問題，即整數和分數的四種算術運算。代數不同于算術。主要區別在于代數需要引入未知數，根據問題的條件制定方程，然后求解方程，求出未知數的值。

2）數論

數論是純數學的分支之一，主要研究整數的性質。整數可以是方程的解（丟番圖方程）。一些解析函數（如黎曼 ζ 函數）包括整數和素數的一些性質。通過這些函數，也可以理解一些數論問題。通過數論，也可以建立實數與有理數的關系，可以用有理數逼近實數（丟番圖逼近）。根據研究方法，數論大致可分為初等數論和高等數論。初等數論是用初等方法研究的數論。其研究方法本質上是利用整數環的可分性，主要包括可分性理論、同余理論和連分式理論。高級數論包括更深奧的數學研究工具。大致包括代數數論、解析數論、計算數論等。

3）Geometry（幾何學）

Geometry，英文Geometry一詞，由希臘語演變而來，原意為土地測量，后被我國明朝采納徐光啟譯為《幾何學》。根據大量實證研究，埃及人創造了幾何學，而幾何學是通過土地測量產生的。幾何學是研究形狀的科學，以人的視覺思維為主導，培養人的觀察能力、空間想象能力和洞察力。幾何學的發展首先是歐幾里德的歐幾里得幾何，其次是19世紀上半葉非歐幾何的誕生，第三是射影幾何的繁榮，最后是幾何的統一。

幾何的分支包括：平面幾何、立體幾何、非歐幾何、羅氏幾何、黎曼幾何、解析幾何、射影幾何、仿射幾何、代數幾何、微分幾何、計算幾何、拓撲學等等。

這里值得一提的是拓撲學，它是研究幾何圖形或空間在不斷改變形狀后仍能保持不變的性質的一門學科。它只考慮物體之間的位置關系，而不考慮它們的形狀和大小。在拓撲中，重要的拓撲屬性包括連通性和緊湊拓撲）。

拓撲學的英文名稱是Topology，直譯為拓撲學。拓撲學是從幾何學和集合論發展而來的一門學科，研究空間、維度和變換等概念。

4）分析

分析是17世紀以來在微積分發展的基礎上形成的數學分支。它曾與幾何、代數并列為數學三大分支，自18世紀以來相對獨立發展。它曾被認為是數學中最大的分支

它是許多以微積分為基本工具、以函數為主要研究對象的數學經典分支及其現代擴展的統稱，是簡稱分析。

狹義的分析是指數學分析，以微分學、積分學、級數論、實數論為基本內容。在廣泛的分析中，極限的概念不僅是微積分的核心，也是許多其他學科的重要思想。其中，微積分是現代數學的基礎，從中衍生出許多新的數學分支，如微分方程、函數論、變分法、泛函分析等，統稱為廣義分析。

5）函數論（Function Theory）

函數論是實函數論和復變函數論的總稱。實函數論是研究函數的連續性、可微性和可積性的理論；復變量理論是研究復變量解析函數性質的理論。以實數為自變量的函數稱為實變函數，以實變函數為研究對象的數學分支稱為實變函數論。它是基于點集理論的微積分的進一步發展。以復數為自變量的函數稱為復變函數，與之相關的理論為復變函數理論。解析函數是復變函數中具有解析性質的函數。復變函數論主要研究復數領域的解析函數，故通常稱復變函數論為解析函數論

函數論主要包括：實變函數論、單復變函數論、多元復變函數論、函數逼近論、調和分析、復流形、特殊函數論等函數論學科。

6）組合數學

組合數學也叫離散數學。廣義的組合數學是離散數學，狹義的組合數學是離散數學中除圖論、代數結構、數理邏輯之外的部分。但這只是不同學者名字的不同而已?？傊?，組合學是一門研究離散對象的科學。隨著計算機科學的發展，組合數學的重要性也日益凸顯，因為計算機科學的核心內容就是利用算法來處理離散數據。狹義的組合學主要研究滿足一定條件的構型（也稱組合模型）的存在、計數和構造。組合學的主要內容包括組合計數、組合設計、組合矩陣、組合優化（最佳組合）等。

1.3.2 Applied Mathematics（應用數學）

概念：< /p>

以明確的目的應用數學理論和方法的總稱，研究如何將數學知識應用到其他一門學科（尤其是科學）的數學分支中。一些學校作為數學系的單獨研究方向。

應用數學的發展以科學為基礎，將純數學中的結論推廣到其他科學。應用數學包括以下分支：概率與統計、計算數學、物理數學、經濟與金融數學、運籌學優化、控制論等。更具體地說，它包括微分方程、向量分析、矩陣、拉普拉斯變換、傅立葉變換、復數變量分析、數值方法、概率論、數理統計、運籌學、博弈論、控制論、組合數學和信息論等數學的許多分支，也包括對各個應用領域提出的數學問題的研究。應用數學涉及面廣，廣泛而深入地應用在科學與工程的各個領域。

維基中的介紹：“圖論應用于網絡分析，拓撲學應用于電路分析，群論應用于晶體學，微分幾何應用于規范場，自動控制理論在計算中的應用，黎曼幾何是應用于相對論，數理邏輯應用于計算機，最小二乘法應用于飛機起降自動控制，數字合成輔助X射線層析成像技術（數學家1979年諾貝爾獎獲得者）醫學獎）。數論應用于密碼學，博弈論、概率論、統計學應用于經濟學，線性規劃應用于生產調度，都可以看到數學在不同領域的應用?！? /p>

最常見的應用包括兩大方向：一是計算機，隨著計算機的飛速發展，大量的軟件工程師懂數學的需要開發相應的數據庫；另一個是經濟學。專業數學用于分析，許多與應用數學相關的課程是根據經濟實例設計的。應用數學與純數學最大的區別在于與實際的結合：力圖解決自然現象和社會發展所提出的數學問題，并將研究成果應用回自然和社會

應用數學研究分支機構：

1）計算數學

計算數學是隨著計算機的出現而迅速發展起來的一門新興學科，涉及計算物理學、計算化學、計算力學、計算材料科學、環境科學、地球科學、金融與保險等諸多交叉學科。它運用現代數學理論和方法解決各種科學和工程問題，分析和提高計算的可靠性、有效性和準確性，研究各種數值軟件的開發技術。

它不僅突出信息、電子、計算機等領域的一些核心理論和技術問題的解決，而且注重從這些高新技術中抽象出新的數學理論；在保持應用數學和計算數學主要研究方向優勢的基礎上，重視和加強信息科學、數據分析與統計計算、科學計算、現代優化、電子系統數值模擬等數學基礎、生物系統數學建模等。

專業背景：要求考生具備基礎數學、應用數學、信息技術、計算機科學、數據處理與系統分析、工程學、數字圖像等知識。

研究方向：工程問題的數值方法、演化方程與動力系統的數值方法、數值逼近與數字圖像處理

、計算機圖形學與計算機軟件、光學與電磁學數學問題in etc.

2) 統計學

統計學是應用數學的一個分支。它主要是利用概率論建立數學模型，收集觀測系統的數據，進行定量分析、歸納、推理和預測，為相關決策提供依據和參考。它被廣泛應用于各個學科，從物理和社會科學到人文科學，甚至用于商業和政府的情報決策。隨著數字化進程的不斷加快，人們越來越希望從大量的數據中總結出一些經驗規律，為后續的決策提供一些依據。統計學專業并不像它表面的文字表示，只是統計學，而是包括調查、采集、分析、預測等，應用范圍很廣

統計學的主要分支包括：統計學史、理論統計學、統計調查與分析理論、統計會計理論、統計監督理論、統計預測理論、統計邏輯學、統計規律、描述統計學、推理統計學、經濟統計學、宏觀經濟統計學、微觀經濟學統計學、管理統計學、科技統計、農村經濟調查、社會統計、教育統計、文化體育統計、衛生統計、司法統計、福利與社會保障統計、生活質量統計、人口學、環境與生態統計、自然資源統計、環境統計, 生態平衡統計s，國際統計，按標準分類的國際統計，國際會計制度和方法體系，國際比較統計。

統計學是一門非常古老的科學。一般認為其學術研究始于古希臘亞里士多德時代，至今已有2300多年的歷史。它起源于對社會和經濟問題的研究。在兩千多年的發展過程中，統計學至少經歷了“城邦政治”、“政治算術”和“統計分析科學”三個發展階段。所謂“數理統計”并不是獨立于統計學之外的一門新學科，準確地說，它是統計學第三個發展階段形成的一切收集、分析數據的新方法的總稱。概率論是數理統計方法的理論基礎，但它不屬于統計學的范疇，而屬于數學的范疇。

3) 概率論

概率論是研究隨機現象規律的數學分支。隨機現象是相對于確定性現象而言的。在一定條件下必然產生某種結果的現象稱為決定性現象。例如，在標準大氣壓下，純水加熱到100℃時，水必然會沸騰。隨機現象是指在基本條件不變的情況下，在每次實驗或觀察之前，不確定會出現什么樣的結果，表現出偶然性。例如，如果您擲硬幣，它可能會出現正面或反面。

對隨機現象的實現和觀察，稱為隨機實驗。隨機實驗的每一種可能的結果稱為一個基本事件，一個或一組基本事件統稱為一個隨機事件，或簡稱為事件。典型的隨機實驗包括擲骰子、擲硬幣、抽牌和輪盤賭游戲。事件的概率是該事件發生的可能性的量度。雖然隨機實驗中某一事件的發生是偶然的，但那些在相同條件下可以重復的隨機實驗往往表現出明顯的定量規律

概率論主要包括：幾何概率、概率分布、極限論、隨機過程、馬爾可夫過程、隨機分析、鞅理論、應用概率論、概率論的其他學科。概率論是研究事物發生的可能性，但概率論的最初起源與賭博問題有關。 16世紀，意大利學者吉羅拉莫·卡爾達諾（Girolamo Cardano）開始研究擲骰子等賭博中的一些簡單問題。概率統計的一些概念和簡單方法，早期主要用于賭博和人口統計模型。隨著人類的社會實踐，人們需要認識隱藏在各種不確定現象中的必然規律，并用數學方法研究各種結果的可能性，從而產生了概率論，并逐漸將其發展成為一門嚴謹的學科。主題。概率統計方法越來越多地滲透到各個領域，廣泛應用于自然科學、經濟學、醫學、金融保險乃至人文科學。

4）數理統計

數理統計是以概率論為基礎，研究社會和自然界中大量隨機現象數量變化的基本規律的方法。它以對隨機現象的觀察和實驗為出發點，以概率論為理論基礎來研究隨機現象。根據數據選擇隨機現象的數學模型，并用數學數據驗證數學模型是否合適，然后在適當的基礎上研究其特征、性質和規律。數理統計是隨著概率論的發展而發展起來的數學分支。它研究如何有效地收集、組織和分析受隨機因素影響的數據，并對所考慮的問題作出推斷或預測，以作出一定的決策。及行動提供依據或建議

數理統計在自然科學、工程技術、管理科學和人文社會科學等領域的應用越來越廣泛和深入，其研究內容也緊跟趨勢科學、技術和政治。但大致可分為兩類：（1）實驗設計與研究，即研究如何更合理有效地獲取觀測數據； (2)統計推斷，即研究如何利用一定的數據，對你關心的問題做出盡可能準確可靠的結論。當然，這兩個部分是密切相關的，在實際應用中應該兼顧。但是，根據本專業的總體設計，我們的數理統計課程只討論統計推理。數理統計是一門根據概率論和實驗或觀察所得數據研究隨機現象統計規律的學科。本課程的目的是使學生了解統計推斷檢驗等方法，并能夠運用這些方法對研究對象的客觀規律性做出各種合理的估計和判斷。掌握種群參數的點估計和區間估計。掌握假設檢驗的基本方法和技巧。了解方差分析和回歸分析的原理，并能運用它們的方法和技巧進行統計推斷

數理統計的主要內容包括：參數估計、假設檢驗、相關分析、實驗設計、非參數統計、過程統計、抽樣理論、假設檢驗、方差分析、相關回歸分析、統計推斷、貝葉斯統計、實驗設計、多元分析、統計決策理論、時間序列分析等。

5) 金融數學

金融數學又稱Analytical Finance、Mathematical Finance、Mathematical Finance，是20世紀80年代末90年代初興起的數學與金融學的交叉學科。金融數學主要運用現代數學理論和方法（如隨機分析、隨機最優控制、組合分析、非線性分析、多元統計分析、數學規劃、現代計算方法等）對投資理論和實踐進行量化分析和研究、債券、基金、股票、期貨、期權等金融工具和市場）。其核心問題是不確定條件下的最優投資策略選擇理論和資產定價理論。套利、最優和均衡是三個主要概念。在過去的二十年里，金融數學不僅直接影響金融工具的創新和金融市場的有效運行，而且影響公司的投資決策和研發項目的評估（如實物期權）和金融機構的風險。廣泛應用于管理。

在現代金融數學理論中，各種金融經濟模型占據著中心地位。其中，至今仍具有重大影響的成果包括：有效市場理論、投資組合理論、資本資產定價模型、套利定價理論、期權定價方程、資產結構理論等。

6）數學物理學

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數學物理學是一門旨在研究物理問題的數學理論和方法。它探索物理現象的數學模型，即尋求對物理現象的數學描述，研究模型所建立的物理問題的數學解，然后根據答案對物理現象進行解釋和預測，或修正原有的物理現象?；谖锢硎聦嵉哪Ｐ?。 “數學”，又稱“數學物理學”，是數學與物理學的交叉學科，是指應用特定的數學方法來研究物理學的某些部分。相應的數學方法也稱為數學物理方法。

隨著電子計算機的發展，數學物理中的許多問題都可以通過數值計算來解決，由此產生的“計算力學”和“計算物理學”發揮著越來越重要的作用。物理模型的計算機直接模擬也成為一種重要的方法。此外，各種漸近方法也在不斷發展?？茖W的發展表明，數學物理的內容會越來越豐富，解決物理問題的能力會越來越強。其他科學，如化學、生物學、地質學、經濟學等，也廣泛使用數學模型進行研究。數學物理中的許多方法和結果都很好地服務于這些研究。在工程科學中，處處需要準確解決物理問題，因此數學物理對技術進步也具有重要意義。此外，數學物理的學習對數學有很大的促進作用。它是新思想、新對象、新問題和新數學方法的源泉。